$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x c o s x d x = ?$

Created: 3 years ago | Updated: 19 hours ago

Updated: 19 hours ago

ক

$\frac{1}{4}$
খ

$\frac{1}{2}$
গ

$\frac{3}{5}$
ঘ

$\frac{2}{3}$

595

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলটি হলো:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx\]

এই সমাকলটি সমাধানের জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করব।

প্রতিস্থাপন নির্বাচন:
ধরি, $u = \sin x$
ডিফারেনশিয়াল নির্ণয়:
    $u$-কে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই:
    $\frac{du}{dx} = \cos x$
    সুতরাং, $du = \cos x \, dx$
সমাকলনের সীমা পরিবর্তন:
    মূল সীমা ছিল $x=0$ থেকে $x=\frac{\pi}{2}$। এখন $u$-এর সাপেক্ষে সীমা পরিবর্তন করতে হবে।
    যখন $x=0$, তখন $u = \sin(0) = 0$।
    যখন $x=\frac{\pi}{2}$, তখন $u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
নতুন সমাকল গঠন:
$u = \sin x$ এবং $du = \cos x \, dx$ প্রতিস্থাপন করে এবং সীমা পরিবর্তন করে সমাকলটি দাঁড়ায়:
\[\int_{0}^{1} u^2 \, du\]
নতুন সমাকল নির্ণয়:
$u^n$ এর সমাকলন সূত্র $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ ব্যবহার করে:
\[\int u^2 \, du = \frac{u^{2+1}}{2+1} = \frac{u^3}{3}\]
সীমা প্রয়োগ:
এখন, প্রাপ্ত ফলটিতে পরিবর্তিত সীমা $(0$ থেকে $1$) প্রয়োগ করি:
\[\left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{(1)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3}\] \[ = \frac{1}{3} - 0\] \[ = \frac{1}{3}\]

সুতরাং, নির্দিষ্ট সমাকলটির মান হলো $\frac{1}{3}$।

প্রদত্ত বিকল্পগুলো হলো:

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{2}{3}$

গণনা করে প্রাপ্ত ফলাফল $\frac{1}{3}$ এর সাথে কোনো বিকল্পই মেলে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 538

Practice

নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ বলতে বুঝায় এমন একটি যোগফল যা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে। এটি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকা ধারার যোগফল নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে ধারার শুরু এবং শেষের অবস্থান নির্দিষ্ট থাকে। গণিতের ভাষায়, এটি সসীম যোগের (finite sum) ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের একটি ধারার নির্দিষ্ট কিছু পদ যোগ করতে হবে। যেমন, $1 + 2 + 3 + \dots + n$। এখানে আমরা $n$ সংখ্যক পদ যোগ করছি, এবং এই যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হবে।

যদি $ n = 5 $ হয়, তাহলে নির্দিষ্ট যোগজ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজকে Σ (সিগমা) প্রতীক দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ধরুন, আমাদের একটি ফাংশন $ f(i) $ এর জন্য $ i = a $ থেকে $ i = b $ পর্যন্ত নির্দিষ্ট যোগজ বের করতে হবে। তাহলে আমরা এটি লিখতে পারি:
\[
\sum_{i=a}^{b} f(i)
\]

উদাহরণস্বরূপ, $ \sum_{i=1}^{5} i $ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজ এবং নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেশন (Definite Integration) মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। যখন একটি ধারার পদ সংখ্যা অসীম হয় এবং ধারা খুব ছোট ছোট অংশে বিভক্ত হয়, তখন নির্দিষ্ট যোগজকে ইন্টিগ্রাল হিসেবেও প্রকাশ করা যায়।

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

নির্দিষ্ট যোগজ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়, যেমন:

ক্ষেত্রফল নির্ণয়: নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে বিভিন্ন ফাংশনের গ্রাফের নিচে থাকা ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
গণনামূলক বিশ্লেষণ: ধারার নির্দিষ্ট যোগফল বিভিন্ন গণনায় নির্ণীত মান বের করতে সহায়ক হয়।

নির্দিষ্ট যোগজ গণিত, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞানসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় এবং এটি বিশ্লেষণ ও সঠিক মান নির্ণয়ে অত্যন্ত কার্যকর।

Notification

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x c o s x d x = ?$

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

∫0π2sin2xcosxdx=?

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x c o s x d x = ?$